j'ai un exercice à proposer dont je bloque:

(Le centre du cercle dessiné à l'intérieur du triangle, point de rencontre des hauteurs du triangle , le barycentre)
A B C est un triangle tel que : AB=c ,  BC=a     et  AC=b
I le centre du cercle dessiné à l'intérieur de ce triangle et H point d'intersection des hauteurs qui se trouvent à l'intérieur de ce triangle  et O le centre du cercle entouré du triangle.
L'objectif de cet exercice est de trouver trois réels alfa , bêta et gamma tel que I (ou H ou O )soit le barycentre de (A, alfa) , (B, bêta) , (C, gamma).

I) Centre du cercle dessiné à l'intérieur du triangle :
La bissectrice de l'angle BÂC coupe  [BC]  sur A' , alors distance A' est égale à (AB) et (AC) .
(distance (d)).
h  la hauteur qui passe par le point A.

1)a) Interprétez la surface  AA'B  et AA'C  avec deux méthodes .
b) Déduisez que A'B /A'C = c / b  , puis que : A' le barycentre de (B, b) et (C,c)
2) La bissectrice de l'angle ABC coupe   [ AC] sur le point B' et la bissectrice de l'angle ACB coupe [ AB ] sur C'.
- Interprétez que B' comme barycentre de A et C, puis C' barycentre de A et B
3) Prouvez que I est le barycentre de (A, a) , (B, b), (C, c)

II) Point de rencontre des hauteurs et centre du cercle entouré du triangle :
      Pour  la démonstration, on prend un triangle ABC sachant que tous ces angles sont aigus.
       On met : l'angle BAC = alfa  ,   l'angle ABC = bêta    et  l'angle  ACB=gamma
    La hauteur qui passe par le point A coupe  [BC]   sur K.
1) a) prouvez que : KB/KC = tan gamma^(angle gamma) /  tan bêta^(angle bêta)
       b) Déduisez que K est le barycentre de (B, tan bêta^(angle bêta))  et (C, tan gamma^(angle gamma))
      d)La hauteur qui passe par le point B coupe [ AC] sur L et la hauteur qui passe par le point C coupe [ AB ] sur M
   - Donnez des résultats analogiques pour les deux points L et M .
    c) Montrez que H ( point de rencontre des hauteur) est le barycentre de (A, tan (angle alfa cet à dire ⍺^)), ( B , tan (angle bêta))   et (C , tan (angle gamma))
2)  M, N et P sont les bissectrices de  [BC]   , [ AC] et [ AB ] par ordre .
a) Montrez que les axes du triangle ABC sont les hauteurs du triangle MNP.
b) Interprétez alors sur O comme barycentre de M, N et P  (utilisez le résultat 1)c))
c) Déduisez  que O centre du cercle entouré du triangle ABC  est barycentre de A, B et  C avec des  coefficients en les désignant.